$\Delta PQR$ માં,$\overline{PM}$ એ વેધ છે. જો $PM^2 = QM \times RM$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\Delta PQR$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$\overline{PM} \perp \overline{QR}$ અને $PM^2 = QM \times RM$.
પગલું $1$: આપેલ સમીકરણ પરથી,આપણને $\frac{PM}{QM} = \frac{RM}{PM}$ મળે છે.
પગલું $2$: $\Delta PMQ$ અને $\Delta RMP$ માં,$\angle PMQ = \angle RMP = 90^\circ$ (કારણ કે $\overline{PM}$ વેધ છે).
પગલું $3$: $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PMQ \sim \Delta RMP$.
પગલું $4$: ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે: $\angle QPM = \angle PRM$ અને $\angle PQM = \angle RPM$.
પગલું $5$: $\Delta PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે. તેથી,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ$.
પગલું $6$: ખૂણાઓની કિંમત મૂકતા,$\angle QPM + \angle RPM + \angle Q + \angle R = 180^\circ$.
પગલું $7$: $\angle QPM = \angle R$ અને $\angle RPM = \angle Q$ હોવાથી,$\angle R + \angle Q + \angle Q + \angle R = 180^\circ$,જેનું સાદું રૂપ $2(\angle Q + \angle R) = 180^\circ$ થાય છે,તેથી $\angle Q + \angle R = 90^\circ$.
પગલું $8$: તેથી,$\angle P = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. આમ,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.